Dias atrás, escrevi neste blog o post “As gotas de Pollock”.  Como era de se esperar, alguns comentários de não compreensão de sua arte surgiram: “Isso eu também faço.” … ou “Pra mim são só rabiscos, minha neta também faz.” … ou ainda “É isso que acontece quando você é um artista e tem 0/0 de criatividade, algumas tintas e uma tela…”.

Resolvi então escrever um segundo post sobre Jackson Pollock. Este irá abordar a relação da produção de Pollock com o modelo geométrico dos fractais, da Teoria do Caos. Quem descobriu esta relação foi o físico americano Richard Taylor, da Universidade de Oregon, nos anos 90.

Parte de imagens de raízes de árvores e da obra “Number 5”, de Jackson Pollock

 Mas o que é um fractal?

O termo “fractal” foi utilizado pela primeira vez pelo matemático polonês Benoit Mandelbrot, em 1967, com origem no adjetivo latino fractus e no verbo frangere (irregular, quebrar, fraturar). Um fractal é um objeto que possui uma estrutura não trivial em todas as escalas, ou seja, um objeto que tenha a propriedade de auto-semelhança exata mediante reescalonamento, é um fractal. Muitas formas na natureza são aproximadas por esta geometria.

“Poeira de Cantor”

Talvez o primeiro fractal descrito matematicamente tenha sido a “Poeira de Cantor” que foi apresentado pelo matemático alemão Georg Cantor por volta de 1872. É uma figura muito simples: retrata auto-semelhança em várias escalas e tem dimensão fracionária, com valor aproximado de 0,630929753571457437. (Mais precisamente, log2/log3). E também se percebe a terceira característica de um fractal: é produzido por iteração.

A iteração pode ser descrita como um processo de realimentação que se repete n vezes. Refere-se ao ato de executar o cálculo de uma certa função e então, obtido o resultado, esse servirá de parâmetro de entrada, para o próximo cálculo da mesma função. A operação se repete (mesmo infinitamente), tornando-se uma iteração. Tal processo poderá produzir um fractal.

A construção da Poeira de Cantor inicia-se com um segmento de reta, que é redesenhada abaixo, porém dividido em três segmentos iguais, onde a parte do meio é retirada. Este processo é repedido para os dois segmentos de reta resultantes, obtendo-se a terceira linha, e assim indefinidamente.

“Triângulo de Sierpinski”

A geometria de fractais é relativamente nova, mas teorias de conjuntos de dimensões fractais e equações não-lineares diferenciais datam de mais de um século. Os fractais foram realmente reconhecidos quando Mandlebort conseguiu juntar tanto os estudos nessa área quanto seus estudos provando que existia regularidade por trás das figuras aparentemente amórficas. Um importante recurso utilizado por Mandelbrot foi o computador. Através dele foi possível fazer as simulações necessárias, algo que os matemáticos anteriores a ele não possuíam, pois fractais são praticamente impossíveis de serem gerados sem recursos computacionais devido à quantidade quase infinita de iterações necessárias.

“Curvas de Koch”

Um pouco mais complexo que a “Poeira de Cantor” é a construção do Triângulo de Sierpinski  (1882-1969), apresentado em 1915. O processo de construção se inicia com a construção de triângulo equilátero. A seguir constrói-se outro triângulo, tendo como vértices os pontos médios do primeiro. Assim, passamos a ter quarto triângulos semelhantes. Esse processo é repetido exceto para o triângulo central. A repetição recursiva desse processo define o Triângulo de Sierpinski.

Outras formas clássicas são as Curvas de Koch (1870-1924), apresentada em 1904, cuja forma de construção é semelhante ao Triângulo de Sierpinski, e a Poeira de Cantor.

As formas citadas até o momento podem ser construídas sem recursos computacionais. Já os Conjuntos de Julia e o os Conjuntos de Mandelbrot, necessitam de tais recursos.

“Conjunto de Mandelbrot”

O Conjunto de Mandelbrot é a mais conhecida das imagens fractais. A figura pode ser criada a partir da iteração de números complexos, escritos como x + iy. A interação é feita com a fórmula: z[n+1] = z[n] * z[n] + c, onde z e c são números complexos.

E onde ficam os fractais na técnica de gotejamento utilizada por Pollock?

Pollock pintando.

Richard Taylor analisou as obras do artista no computador, dividindo cada uma em quadrados de tamanhos que variavam de 1 centímetro a 4,8 metros, e comparou os conteúdos. O resultado foi que um mesmo padrão se repetia em diversos tamanhos, alguns até mil vezes maiores que outros.

Durante a pesquisa, Taylor mediu nos quadros a dimensão fractal – número que mede a complexidade do fractal. Ele percebeu que
esta dimensão aumenta à medida que Pollock refina sua técnica, atingindo valores maiores nas últimas obras, como se o pintor estivesse inconscientemente à procura de fractais cada vez mais complexos. As telas iniciais, feitas em 1945, têm uma dimensão fractal baixa, semelhante à de uma couve-flor, e as últimas obras possuem números comparáveis aos de uma floresta.

“Number 1”, de Jackson Pollock. 1950

E o mais surpreendente na obra de Pollock: ele produziu imagens fractais trinta anos antes desta teoria ter sido formulada!

E agora, José? Qualquer um pode criar este tipo de obra? Quem achar que pode, que comece.

Fontes: Fractais e Arte e Pollock by Taylor.

Autor: Catherine Beltrão